注釋：該證明的關(guān)鍵是給出一些操作，保證刪去的圈最多，然后再用不等式估計(jì)去證明在反證前提下這樣的操作不能進(jìn)行太多，而又由于邊數(shù)大于等于n時(shí)，一定會(huì)有圈存在，可以保證一個(gè)操作次數(shù)的下界。

在第11屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽上，中國(guó)隊(duì)無(wú)一人獲得金牌，最好成績(jī)是拿到銀牌的第15名，總成績(jī)排名第6。在國(guó)內(nèi)很多數(shù)學(xué)金牌教練看來(lái)，此次中國(guó)隊(duì)在羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽上的成績(jī)屬于“表現(xiàn)正常”。

這次中國(guó)隊(duì)沒有取得更好的成績(jī)，在于中國(guó)選手幾乎被比賽的第三題“團(tuán)滅”：滿分7分，參賽的6名中國(guó)選手除了其中一名同學(xué)拿了1分，另外5名同學(xué)全是0分。

比賽后，記者拿到了這道題目的原題，全英文。浙江某數(shù)學(xué)國(guó)際金牌教練曾對(duì)記者表示，這道題真的非常難，連他都不會(huì)做。而網(wǎng)上也是一片“做不出來(lái)”的哀嚎聲。

昨天，杭二中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練趙斌告訴記者，他的一個(gè)學(xué)生把這道題給解出來(lái)了。

高一學(xué)生花兩天解題

三分靠眼熟七分靠運(yùn)氣

趙老師對(duì)記者說(shuō)，羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽上的第三題，他也關(guān)注過(guò)，覺得應(yīng)該能做出來(lái)，但沒有去動(dòng)筆做，關(guān)鍵是太耗時(shí)間。

不過(guò)，他在上周六把這道題布置給了高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽班里的六七個(gè)學(xué)生，讓他們?nèi)ピ囈辉嚒?ldquo;就當(dāng)給他們的一種鍛煉吧，我也不知道會(huì)不會(huì)有人能做出來(lái)。”

這周一中午，有個(gè)男生找到了他，要談?wù)勛约旱南敕ā?ldquo;經(jīng)過(guò)一番交流，我發(fā)現(xiàn)他做題的思路是對(duì)的，就是過(guò)程寫得不夠好，如果按照頂尖比賽的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，估計(jì)能拿到6分。少的一分是表達(dá)上還不是很完善。”

記者見到了這位解出第三題的男生小湯，個(gè)子高高的、瘦瘦的，戴著牙箍。為了解這道題，他總共花了2天時(shí)間，“我以前見過(guò)類似的題目，了解過(guò)做這種題目的處理方式。”

小湯透露，他第一次見到類似題目時(shí)，簡(jiǎn)直懵了，“完全弄不明白，一個(gè)學(xué)長(zhǎng)給我解釋了一番，還是沒聽懂，后來(lái)我再去請(qǐng)教老師，才有點(diǎn)數(shù)。這次做出這道題，三成是因?yàn)橐郧耙娺^(guò)類似的題目，還有七成因素是運(yùn)氣。”在做題時(shí)，每一步他都會(huì)有不同的想法，這些想法需要一一去嘗試對(duì)不對(duì)，“每一步，我都只嘗試了一兩次就走通了，從第一步、第二步、第三步到最后一步，比較順利。”

他也承認(rèn)，如果剛開始嘗試幾次都走不通，估計(jì)就放棄了。“即使不放棄，每一個(gè)想法都要去嘗試，要花費(fèi)更多的時(shí)間。”

對(duì)于小湯的解答，趙斌認(rèn)為有別于標(biāo)準(zhǔn)解答，“這個(gè)學(xué)生的想法很自然，本質(zhì)上就是刪去一些特殊的邊，使得這個(gè)圖中沒有圈。然后再利用反證假設(shè)對(duì)操作數(shù)去做估計(jì)，以此來(lái)得到矛盾。”

而參與羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽的中國(guó)選手，可能因?yàn)榭紙?chǎng)上有時(shí)間限制，隊(duì)員們不能互相討論，不太熟悉這類題型，再加上時(shí)差等原因，現(xiàn)場(chǎng)沒能做出來(lái)。

明明是漢字卻看不懂

數(shù)學(xué)語(yǔ)言不同于生活語(yǔ)言

趙老師對(duì)記者說(shuō)，他覺得第三題出得非常漂亮，“這道題是從一個(gè)論文里找出來(lái)的一個(gè)結(jié)論，題目簡(jiǎn)短，是對(duì)基本結(jié)論的延伸。”

趙斌帶數(shù)學(xué)競(jìng)賽班好多年了，也帶出過(guò)一位數(shù)學(xué)國(guó)際金牌選手。“頂尖的國(guó)際數(shù)學(xué)比賽中一共有四種題型，平面幾何、代數(shù)、組合和數(shù)論。第三題屬于組合題型，是一道圖論的證明題，組合題型在所有題型中是最容易看懂的。”

不過(guò)，這次羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽上的第三題，絕大多數(shù)人跟記者一樣，沒有看懂。

趙老師給記者科普了一下，把這道題轉(zhuǎn)換成了生活語(yǔ)言，大致意思是這樣子——有些村莊，有的道路相連，有的不連。隨意地從一個(gè)村莊出發(fā)，繞一個(gè)圈(可以是不規(guī)則的圓圈，經(jīng)過(guò)其他村莊)，回到這個(gè)村莊?，F(xiàn)在需要證明的是，如果道路足夠多，是村莊的若干倍，可以找到兩條長(zhǎng)度一樣的不同的圈。

“這就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言和生活常識(shí)的區(qū)別，學(xué)生不僅要讀懂?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言的題目，還要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)證明，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)是一個(gè)大的考驗(yàn)。”

趙老師說(shuō)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽老師去做第三題，即使能做出來(lái)，花費(fèi)的時(shí)間不一定比學(xué)生少。“外界有一個(gè)誤會(huì)，認(rèn)為競(jìng)賽老師應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)所不會(huì)，怎么可能呢?如果我能秒掉題目，只有兩種情況下發(fā)生，一是題目簡(jiǎn)單，二是以前我做過(guò)了。”(梁建偉)